Основы стохастической финансовой математики - Ширяев А.Н.

Описание: Материал первого тома, состоящий из четырех глав относится к "Фактам" и "Моделям" финансовой статистики, экономики, математики, инженерии, ...

В первой главе излагются разнообразные факты о финансовых рынках и их функционировании. Были изложены также основные положения ряда классических и неоклассических финансовых теорий, результаты которых помогают пониманию структуры "рационально" устроенных стохастических финансовых рынков и пониманию того, каким должно быть "рациональное" поведение инвесторов, трейдеров, ... на таких рынках. В целом, эта глава, носящая описательный характер, призвана служить введением в финансовую математику и финансовую инженерию.
В четвертой главе приведены результаты статистического анализа распределений вероятностей временных рядов, описывающих эволюцию финансовых цен, индексов, обменных курсов и т. ц. Выявленные свойства ("отклонение от гауссовости" "вытянутость" и "тяжелые хвосты" у плотностей распределений вероятностей величин "возврата", "долгая память" и "высокочастотный" характер в поведении цен и т.п.) помогают построению адекватных моделей динамики финансовых показателей, что особенно важно, если иметь в виду задачи предсказания будущего движения этих показателей.

Вторая и третья главы содержат большой материал относительно разнообразных моделей распределений вероятностей, моделей случайных последовательностей и случайных процессов, многие из которых с успехом используются и в финансовой теории, и в финансовой инженерии.
Материал второго тома, посвященного "Теории" также состоит из четырех глав.
В основе всего изложения лежит концепция арбитража, которая помогает среди разнообразных моделей финансовых рынков выделить, прежде всего, те - "справедливо" устроенные, на которых отсутствуют арбитражные возможности.
Ключевым результатом пятой главы является "первая фундаментальная теорема теории расчетов финансовых активов" которая (с некоторыми оговорками) утверждает, что безарбитражный рынок - это такой рынок, для которого существует так называемая риск-нейтральная (или мартин-гальная) мера, относительно которой цены образуют мартингал.
С полными рынками, характеризуемыми тем, что на них возможно построение такого портфеля ценных бумаг, что его капитал будет (в заранее определенный момент времени в будущем) воспроизводить требуемое платежное поручение, связана "вторая фундаментальная теорема"
В соответствии с этой теоремой на без арбитражном рынке полнота имеет место тогда и только тогда, когда существует только одна мартингальная мера.
В расширенном варианте "второй фундаментальной теоремы" описывается также и структура цен в полных без арбитражных моделях финансовых рынков.
Теории расчетов в стохастических финансовых моделях с дискретным временем, основанной на первой и второй фундаментальных теоремах, посвящается шестая глава. Основным здесь является понятие хеджирования как метода динамического управления портфелем ценных бумаг. Выведенные формулы для цены (стоимости) хеджирования и изложенные методы отыскания оптимальных хеджирующих стратегий на полных и неполных рынках применяются к расчетам опционов Европейского и Американского типов.
Седьмая и восьмая главы относятся к случаю непрерывного времени. Излагаются результаты теории арбитража в стохастических финансовых моделях, описываемых с привлечением понятий семимартингалов и случайных мер, и приводятся различные версии аналогов первой и второй фундаментальных теорем. Следует при этом подчеркнуть, что соответствующее изложение (седьмая глава) является более сложным, по сравнению со случаем дискретного времени (пятая глава), и опирается на многие весьма глубокие результаты стохастического исчисления.
Последняя глава (восьмая) посвящена применению результатов теории арбитража для расчетов в финансовых моделях с непрерывным временем. При этом основное внимание уделяется расчетам разного рода опционов.
Изложение начинается с "Формулы Башелье" для рациональной стоимости стандартного опциона (покупателя) Европейского типа в линейной модели Башелье, явившейся прототипом известной "Формулы Блэка и Шоулса" для которой дается несколько выводов. Большой материал отводится расчетам опционов Американского типа как в диффузионных моделях акций, так и в диффузионных моделях облигаций.

---

 

 

Глава I. Основные понятия, структуры, инструменты, цели и задачи финансовой теории и финансовой инженерии
1. Финансовые структуры и инструменты
§ 1а. Ключевые объекты и структуры
§ 1b. Финансовый рынок
§ 1с. Рынок производных пенных бумаг. Финансовые инструменты
2. Финансовый рынок в условиях неопределенности. Классические теории динамики финансовых индексов, их критика и пересмотр. Неоклассические теории
§ 2а. Гипотеза случайного блуждания и концепция эффективного рынка
§ 2b. Портфель ценных бумаг. Диверсификация Марковитпа

§ 2с. Модель ценообразования финансовых активов (САРМ - Capital Asset Pricing Model)
§ 2d. Арбитражная теория расчетов (APT - Arbitrage Pricing Theory)
§ 2e. Анализ, интерпретация и пересмотр классической концепции эффективно функционирующего рынка. I
§ 2f. Анализ, интерпретация и пересмотр классической концепции эффективно функционирующего рынка. II
3. Цели и задачи финансовой теории, инженерии и финансово-актуарных расчетов
§ 3а. Роль финансовой теории и финансовой инженерии. Финансовый риск 
§ 3b. Страховой бизнес как социальный механизм компенсации экономических потерь
§ 3с. Классический пример актуарных расчетов. Теорема Лундберга-Крамёра
Глава II. Стохастические модели. Дискретное время
1. Необходимые вероятностные понятия и некоторые модели динамики рыночных цен
§ 1а. Неопределенность и нерегулярность поведения цен, вероятностное их описание и представление
§ 1b. Разложение Дуба. Канонические представления
§ 1с. Локальные мартингалы, мартингальные преобразования, обобщенные мартингалы
§ 1d. Гауссовские и условно-гауссовские модели
§ 1е. Биномиальная моде ль эволюции цен
§ 1f. Модели с дискретным вмешательством случая
2. Линейные стохастические модели
§ 2а. Модель скользящего среднего MA(q)
§ 2b. Авторегрессионная модель AR(p)
§ 2с. Модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p, q) и интегральная модель ARIMA(p, d,q)
§ 2d. Прогнозирование в линейных моделях
3. Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели
§ 3а. Модели ARCH я GARCH
§ 3b. Модели EG ARCH, TGARCH, HARCH и др
§ 3с. Модели стохастической волатильности
4. Приложение: модели динамического хаоса
§ 4а. Нелинейные хаотические модели
§ 4b. Проблематика различимости "хаотических" и "стохастических" последовательностей
Глава III. Стохастические модели. Непрерывное время
1. Негауссовские модели распределений и процессов
§ 1а. Устойчивые и безгранично делимые распределения
§ 1b. Процессы Леви
§ 1с. Устойчивые процессы
§ 1d. Гиперболические распределения и процессы
2. Модели со свойствами самоподобия (автомодельности). Фрактальность
§ 2а. Статистический феномен автомодельности Харста
§ 2Ь. Экскурс во фрактальную геометрию
§ 2с. Статистическая автомодельность. Фрактальное броуновское движение
§ 2d. Фрактальный гауссовский шум как процесс с сильным последействием
3. Модели, основанные на броуновском движении
§ За. Броуновское движение и его роль как базисного процесса

§ ЗЬ. Броуновское движение: сводка классических результатов
§ Зс. Стохастический интеграл по броуновскому движению
§ 3d. Процессы и формула Ито
§ Зе. Стохастические дифференциальные уравнения
§ 3f. Прямые и обратные уравнения Колмогорова. Вероятностное представление решений
4. Диффузионные модели эволюции процентных ставок, стоимостей акций и облигаций
§ 4а. Стохастические процентные ставки
§ 4Ь. Стандартная диффузионная модель стоимости акций (геометрическое броуновское движение) и ее обобщения
§ 4с. Диффузионные модели временной структуры стоимостей семейства облигаций
5. Семимартингальные модели
§ 5а. Семимартингалы и стохастические интегралы
§ 5Ь. Разложение Дуба-Мейёра. Компенсаторы. Квадратическая вариация
§ 5с. Формула Ито для семимартингалов. Некоторые обобщения
Глава IV. Статистический анализ финансовых данных
1. Эмпирические данные. Вероятностно-статистические модели их описания. Статистика "тиков"
§ 1а. Структурные изменения в сборе и анализе финансовых данных

§ 1b. О "географических" особенностях статистических данных обменных курсов
§ 1с. Описание эволюции финансовых индексов как стохастических процессов с дискретным вмешательством случая

§ 1d. К статистике "тиков"
2. Статистика одномерных распределений
§ 2а. Дискретизация статистических данных
§ 2Ь. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. I. Отклонение от гауссовости "Вытянутость" эмпирических плотностей
§ 2с. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. II. "Тяжелые хвосты" и их статистика
§ 2d. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. III. Структура распределений в центральной области
3. Статистика волатильности, корреляционной зависимости и последействия в ценах
§ 3а. Волатильность. Определение и примеры
§ 3b. Периодичность и фрактальная структура волатильности в обменных курсах
§ Зс. Корреляционные свойства
§ 3d. "Деволатилизация" Операционное время
§ 3е. Эффекты "кластерности" и последействия в ценах
4. Статистический R/S-анализ
§ 4а. Истоки и методология R/S-анализа
§ 4b. R/S-анализ некоторых финансовых временных рядов
Литература

 

Глава V. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях. Дискретное время
1. Портфель ценных бумаг на (В, S)-рынке
§ 1а. Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям
§ 1b. Понятие о "хеджировании" Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки
§ 1с. Верхние и нижние цены в одношаговой модели
§ 1d. Пример полного рынка - CRR-модель
2. Рынок без арбитражных возможностей
§ 2а. Концепции "арбитраж" и "отсутствие арбитража"
§ 2b. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. I. Формулировка первой фундаментальной теоремы
§ 2с. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. П. Доказательство достаточности
§ 2d. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. III. Доказательство необходимости (с использованием условного преобразования Эшера)
§ 2е. Расширенный вариант первой фундаментальной теоремы
3. Конструкция мартингальных мер с помощью абсолютно непрерывной замены меры
§ 3а. Основные определения. Процесс плотности
§ 3b. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. I. Условно-гауссовский случай
§ 3с. Мартингальность цен в случае условно-гауссовского и логарифмически условно-гауссовского распределений

§ 3d. Дискретный вариант теоремы Гирсанова. II. Общий случай
§ 3е. Целочисленные случайные меры и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы
§ 3f. Предсказуемые критерии отсутствия арбитражных возможностей на (В, S)-рынке

4. Полные и совершенные безарбитражные рынки
§ 4а. Мартингальный критерий полноты рынка. I. Формулировка второй фундаментальной теоремы. Доказательство необходимости

§ 4b. О представимости локальных мартингалов. I. ("S-представимость")
§ 4с. О представимости локальных мартингалов. II. ("µ-представимость","(µ—v)-представимость")
§ 4d. "5-представимость" в биномиальной CRR-модели
§ 4е. Мартингальный критерий полноты рынка. II. Доказательство достаточности в случае d= 1
§ 4f. Расширенный вариант второй фундаментальной теоремы

Глава VI. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях. Дискретное время
1. Расчеты, связанные с хеджированием Европейского типа на безарбитражньгх рынках
§ 1а. Риск и методы его редуцирования
§ 1b. Основная формула для цены хеджирования. I. Полные рынки

§ 1с. Основная формула для цены хеджирования. II. Неполные рынки

§ 1d. О расчетах цены хеджирования при среднеквадратичном критерии
§ 1е. Форвардные и фьючерсные контракты
2. Расчеты, связанные с хеджированием Американского типа на безарбитражных рынках
§ 2а. Задачи об оптимальной остановке. Супермартингальная характеризация
§ 2Ь. Полные и неполные рынки. I. Супермартингальная характеризация цены хеджирования

§ 2с. Полные и неполные рынки. II. Основные формулы для цен хеджирования
§ 2d. Опциональное разложение
3. Схема серий "больших" безарбитражных рынков и асимптотический арбитраж
§ 3а. Модель "больших" финансовых рынков
§ 3b. Критерии отсутствия асимптотического арбитража
§ 3с. Асимптотический арбитраж и контигуальность
§ 3d. Некоторые аспекты аппроксимации и сходимости в схеме серий безарбитражных рынков
4. Опционы Европейского типа на биномиальном (В, S)-рынке
§ 4а. О проблематике расчетов опционных контрактов
§ 4b. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. I. Случай общих платежных функций
§ 4с. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. II. Случай марковских платежных функций
§ 4d. Стандартные опционы покупателя и продавца
§ 4е. Стратегии, основанные на опционах (комбинации, спрэды, сочетания)
5. Опционы Американского типа на биномиальном (В, S)-рынке
§ 5а. О проблематике расчетов опционов Американского типа
§ 5b. Расчеты для стандартного опциона покупателя
§ 5с. Расчеты для стандартного опциона продавца
§ 5d. Опционы с последействием. Расчеты в "Русском опционе"
Глава VII. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях. Непрерывное время
1. Портфель ценных бумаг в семимартингальных моделях
§ 1а. Допустимые стратегии. I. Самофинансируемость. Векторный стохастический интеграл
§ 1b. Дисконтирующие процессы
§ 1с. Допустимые стратегии. II. Некоторые специальные классы
2. Семимартингальные модели без арбитражных возможностей. Полнота
§ 2а. Концепция отсутствия арбитража и ее разновидности
§ 2b. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. I. Достаточные условия
§ 2с. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. П. Необходимые и достаточные условия (сводка некоторых результатов)
§ 2d. Полнота в семимартингальных моделях
3. Семимартингалы и мартингальные меры
§ 3а. Каноническое представление семимартингалов. Случайные меры. Триплеты предсказуемых характеристик.
§ 3b. Конструкция мартингальных мер в диффузионных моделях. Теорема Гирсанова
§ 3с. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. Преобразование Эшера
§ 3d. Предсказуемые критерии мартингальности цен. I
§ 3е. Предсказуемые критерии мартингальности цен. II
§ 3f. О представимости локальных мартингалов ("(H^c,µ-v-представимость")
§ 3g. Теорема Гирсанова для семимартингалов. Структура плотностей вероятностных мер
4. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных моделях акций
§ 4а. Арбитраж и условия его отсутствия. Полнота
§ 4b. Цена хеджирования на полных рынках
§ 4с. Фундаментальное уравнение в частных производных для цены хеджирования
5. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных моделях облигаций
§ 5а. Модели без арбитражных возможностей
§ 5b. Полнота
§ 5с. Фундаментальное уравнение в частных производных временной структуры цен облигаций
Глава VIII. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях. Непрерывное время
1. Опционы Европейского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций
§ 1а. Формула Башелье
§ 1b. Формула Блэка и Шоулса. I. Мартингальный вывод
§ 1с. Формула Блэка и Шоулса. II. Вывод, основанный на решении фундаментального уравнения
§ Id. Формула Блэка и Шоулса. III. Модель с дивидендами
2. Опционы Американского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций. Случай бесконечного временного горизонта
§ 2а. Стандартный опцион покупателя
§ 2b. Стандартный опцион продавца
§ 2с. Комбинации опционов покупателя и продавца
§ 2d. Русский опцион
3. Опционы Американского типа на диффузионных (В, S)-рынках акций. Случай конечного временнбго горизонта
§ 3а. Об особенностях расчетов на конечных временных интервалах
§ 3b. Задачи об оптимальной остановке и задача Стефана
§ 3с. Задача Стефана для стандартных опционов покупателя и продавца
§ 3d. О связи стоимостей опционов Европейского и Американского типа
4. Опционы Европейского типа и Американского типа на диффузионном (B, Р)-рынке облигаций
§ 4а. О проблематике расчетов опционов на рынке облигаций